Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由

y=ax+1 3x2-y2=1

，消去y，得（3-a²）x²-2ax-2=0，假设存在实数a，使得A，B关于y=2x对称，则直线y=ax+1与y=2x垂直，a=-

1

2

，直线l的方程为y=-

1

2

x+1，由此能推导出不存在实数a使A，B关于直线y=2x对称．

解答： 解：由

y=ax+1 3x2-y2=1

，消去y，得（3-a²）x²-2ax-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2= -2 3-a2

，（*）
假设存在实数a，使得A，B关于y=2x对称，则直线y=ax+1与y=2x垂直，
∴a=-

1

2

，直线l的方程为y=-

1

2

x+1，
把a=-

1

2

代入（*），得x₁+x₂=-

4

11

，
∴AB中点的横坐标为x=-

2

11

，纵坐标为y=-

1

2

×(-

2

11

)+1=

12

11

，
∵AB中点（-

2

11

，

12

11

）不在直线y=2x上，
∴不存在实数a使A，B关于直线y=2x对称．

点评：本题考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．