题目内容
数列{bn}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1+b3=5，b1b3=4．数列{an}满足an=log2bn+3．
（Ⅰ）求数列{bn}，{an}的通项公式：
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，是否存在正整数n，使得数列{
}前n项和为Tn满足Tn-（n-1）2=4025？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）求数列{bn}，{an}的通项公式：
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，是否存在正整数n，使得数列{
| 4Sn-11n |
| n |
考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（I）设等比数列{bn}的公比为q，由于b1+b3=5，b1b3=4．b1＜b3，解得b1=1，b3=4．利用b3=b1q2，q＞0，解得q．可得bn．利用数列{an}满足an=log2bn+3．即可得出．
（II）利用等差数列的前n项和公式可得Sn，可得
=2n-1．可得Tn=n2．假设存在正整数n，使得数列{
}前n项和为Tn满足Tn-（n-1）2=4025，解出即可．
（II）利用等差数列的前n项和公式可得Sn，可得
| 4Sn-11n |
| n |
| 4Sn-11n |
| n |
解答：
解：（I）设等比数列{bn}的公比为q，
∵b1+b3=5，b1b3=4．b1＜b3，解得b1=1，b3=4．
∴4=1×q2，q＞0，解得q=2．
∴bn=2n-1．
∵数列{an}满足an=log2bn+3，
∴an=n-1+3=n+2．
（II）Sn=
，
∴
=
=2n-1．
∴Tn=
=n2．
假设存在正整数n，使得数列{
}前n项和为Tn满足Tn-（n-1）2=4025，
∴n2-（n-1）2=4025，
∴2n-1=4025，解得n=2013．
∴存在正整数n=2013，使得数列{
}前n项和为Tn满足Tn-（n-1）2=4025．
∵b1+b3=5，b1b3=4．b1＜b3，解得b1=1，b3=4．
∴4=1×q2，q＞0，解得q=2．
∴bn=2n-1．
∵数列{an}满足an=log2bn+3，
∴an=n-1+3=n+2．
（II）Sn=
| n(3+n+2) |
| 2 |
∴
| 4Sn-11n |
| n |
| 2n(n+5)-11n |
| n |
∴Tn=
| n(1+2n-1) |
| 2 |
假设存在正整数n，使得数列{
| 4Sn-11n |
| n |
∴n2-（n-1）2=4025，
∴2n-1=4025，解得n=2013．
∴存在正整数n=2013，使得数列{
| 4Sn-11n |
| n |
点评：本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2AB=2BC．BC∥AD，AB⊥AD．已知
、
是平面向量，若
⊥(
-2
)，
⊥(
-2
)，则
与
的夹角是（ ）
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|