题目内容
设命题p：非零向量
，
，|
|=|
|是（
+
）⊥（
-
）的充要条件：命题q：平面上M为一动点，A，B，C三点共线的充要条件是存在角α，使
=sin2α
+cos2α
，下列命题①p∧q；②p∨q③￢p∧q；④￢p∨q．
其中假命题的序号是 ．（将假命题的序号都填上）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| MA |
| MB |
| MC |
其中假命题的序号是
考点：复合命题的真假
专题：平面向量及应用,简易逻辑
分析：根据两向量垂直的充要条件，数量积的运算，共线向量基本定量，向量的减法即可判断命题p，q的真假，从而找出假命题的序号．
解答：
解：|
|=|
|时，(
+
)•(
-
)=
2-
2=0；
∴(
+
)⊥(
-
)；
若(
+
)⊥(
-
)，则(
+
)•(
-
)=
2-
2=0；
∴|
|=|
|；
∴|
|=|
|是(
+
)⊥(
-
)的充要条件；
∴命题p是真命题；
（1）若存在角α，使
=sin2α
+cos2α
，则：
-
=(sin2α-1)
+cos2α
；
∴
=cos2α
；
∴A，B，C三点共线；
（2）若三点A，B，C共线，如图，
存在实数λ＞0，使
=λ
；
∴
-
=λ(
-
)；
∴
=(1+λ)
-λ
；
∴不存在角α使
=sin2α
+cos2α
；
∴存在角α使
=sin2α
+cos2α
是A，B，C三点共线的充分不必要条件；
∴命题q是假命题；
∴p∧q，￢p∧q，￢p∨q是假命题．
∴假命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴(
| a |
| b |
| a |
| b |
若(
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴|
| a |
| b |
∴|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴命题p是真命题；
（1）若存在角α，使
| MA |
| MB |
| MC |
| MA |
| MB |
| MB |
| MC |
∴
| BA |
| BC |
∴A，B，C三点共线；
（2）若三点A，B，C共线，如图，
存在实数λ＞0，使
| BA |
| CB |
∴
| MA |
| MB |
| MB |
| MC |
∴
| MA |
| MB |
| MC |
∴不存在角α使
| MA |
| MB |
| MC |
∴存在角α使
| MA |
| MB |
| MC |
∴命题q是假命题；
∴p∧q，￢p∧q，￢p∨q是假命题．
∴假命题的序号是①③④．
故答案为：①③④．
点评：考查两向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，共线向量基本定理，以及sin2α+cos2α=1，充分条件、必要条件、充要条件、充分不必要条件的概念，p∧q，p∨q，￢p的真假和p，q真假的关系．
练习册系列答案
相关题目
在同一坐标系中，函数y=3x的图与y=(
)x的图象（ ）
| 1 |
| 3 |
| A、关于x轴对称 |
| B、关于y轴对称 |
| C、关于原点对称 |
| D、关于直线y=x对称 |
执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（ ）
| A、8 | B、9 | C、10 | D、11 |
若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=4：5：7，则△ABC（ ）
| A、一定是锐角三角形 |
| B、一定是直角三角形 |
| C、一定是钝角三角形 |
| D、可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 |