Question

已知向量

a

=(sin2x+1，1)，

b

=(2，1-4sin2x)，其中x∈R，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的对称中心；
（2）若f（θ）=3，其中-

π

2

≤θ≤

π

2

，求tanθ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换求得f（x）=1+2

2

sin(2x+

π

4

)，再根据正弦函数的图象的对称中心求得f（x）的对称中心．
（2）由f（θ）=3，求得sin(2θ+

π

4

)=

2

2

，结合-

π

2

≤θ≤

π

2

，求得θ的值，可得tanθ的值．

解答： 解：（1）由题意得函数f(x)=

a

•

b

=2sin2x+2+1-4•

1-cos2x

2

=2sin2x+2cos2x+1=1+2

2

sin(2x+

π

4

)，
当2x+

π

4

=kπ，即x=

kπ

2

-

π

8

时，2

2

sin(2x+

π

4

)=0．故f（x）的对称中心为（

kπ

2

-

π

8

，1）．
（2）令1+2

2

sin(2θ+

π

4

)=3，可得2

2

sin(2θ+

π

4

)=2，即sin(2θ+

π

4

)=

2

2

．
∵-

π

2

≤θ≤

π

2

，∴-

3π

4

≤2θ+

π

4

≤

5π

4

，∴2θ+

π

4

=

π

4

，或2θ+

π

4

=

3π

4

，求得θ=0或

π

4

，
故tanθ=0或1．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的图象的对称中心，根据三角函数的值求角，属于中档题．