Question

已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合，对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）对于集合M中的元素h（x）=k

x2+1

，x≥0，求k的取值范围； 
（2）当x∈（0，

π

2

）时sinx＜x都成立，是否存在实数a，使P（x）=a（2x+sinx）在x∈（

π

2

，π）上属于集合M？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据条件利用导数解不等式即可得到结论． 
（2）求函数的导数，利用|P′（x）|≤1，即可得到结论．

解答： 解：（1）若|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，则

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≤1，
即|f′（x）|≤1，
若h（x）=k

x2+1

，x≥0，则函数的导数为h′（x）=

kx

x2+1

，
当x=0时，h′（x）=0，满足条件|f′（x）|≤1，
当x＞0时，|h′（x）|=|

kx

x2+1

|≤1，
即|kx|≤

x2+1

，
则|k|≤

x2+1

|x|

=

x2+1 x2

=

1+ 1 x2

，
即|k|≤1，解得-1≤k≤1．
（2）由P（x）=a（2x+sinx）得P′（x）=a（2+cosx）
由|P′（x）|=|a（2+cosx）|≤1，
得|a|≤

1

|2+cosx|

，
∵x∈（

π

2

，π），∴-1＜cosx＜1，则1＜2+cosx＜2，
即

1

2

＜

1

|2+cosx|

＜1，
则|a|＜

1

2

，解得-

1

2

＜a＜

1

2

，
故存在实数a满足-

1

2

＜a＜

1

2

，满足条件．

点评：本题主要考查函数最值的应用，利用导数是解决本题的关键．综合性较强，有一定 的难度．