Question

已知在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁=4，其前n项和为S_n，又a₁，a₇，a₁₀成等比数列．
（1）若S_n=11，求n的值；
（2）设b_n=

1

anan+1

（n≤11且n∈N^*），数列{b_n}前项和为T_n，求满足条件T_n＜

9

4

的n的最大值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）先求出公差，再利用S_n=11，求n的值；
（2）求出a_n=

13-n

3

，可得b_n=

1

anan+1

=

9

(13-n)(12-n)

=9（

1

12-n

-

1

13-n

），利用裂项法求和，即可a_n=

13-n

3

，
∴b_n=

1

anan+1

=

9

(13-n)(12-n)

=9（

1

12-n

-

1

13-n

），

解答： 解：（1）∵a₁，a₇，a₁₀成等比数列，
∴（4+6d）²=4（4+9d），
∵公差不为0，
∴d=-

1

3

．
∴S_n=4n+

n(n-1)

2

×(-

1

3

)=11，可得 n²-25n+66=0 （n-3）（n-22）=0，
所以n=3或n=22；
（2）∵a₁=4，d=-

1

3

．
∴a_n=

13-n

3

，
∴b_n=

1

anan+1

=

9

(13-n)(12-n)

=9（

1

12-n

-

1

13-n

），
∴T_n=9（

1

11

-

1

12

+

1

10

-

1

11

+…+

1

12-n

-

1

13-n

）=9（

1

12-n

-

1

12

）
由T_n＜

9

4

，可得9（

1

12-n

-

1

12

）＜

9

4

，
∴n＜9，
∴满足条件T_n＜

9

4

的n的最大值为8．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．