Question

15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，两个顶点分别为A（-a，0），B（a，0），点M（-1，0），且3$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若BC⊥CD，求k的值；
（3）记直线BC，BD的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值．

Answer 1

分析 （1）由已知点的坐标结合向量等式求得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）写出CD所在直线方程，得到BC所在直线方程联立求得C的坐标，代入椭圆方程即可求得k值；
（3）联立直线方程和椭圆方程，求得C、D的横坐标的和与积，代入斜率公式可得k₁k₂为定值．

解答 （1）解：∵A（-a，0），B（a，0），点M（-1，0），且3$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，
∴3（-1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．
又∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，则b²=a²-c²=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）解：CD的方程为y=k（x+1），
∵BC⊥CD，∴BC的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-2），
联立方程组，可得点C的坐标为（$\frac{2-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，$\frac{3k}{1+{k}^{2}}$），
代入椭圆方程，得$\frac{（\frac{2-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}）^{2}}{4}+（\frac{3k}{1+{k}^{2}}）^{2}=1$，
解得k=±2$\sqrt{2}$．
又∵点C在x轴上方，$\frac{3k}{1+{k}^{2}}$＞0，则k＞0，
∴k=2$\sqrt{2}$；
（3）证明：∵直线CD的方程为y=k（x+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
k₁k₂=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1）}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$
=$\frac{{k}^{2}（\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+1）}{\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-2（-\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}）+4}$=$\frac{-3{k}^{2}}{36{k}^{2}}$=-$\frac{1}{12}$，
∴k₁k₂为定值．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．