Question

10．在直角坐标系x0y中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1$，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（0≤θ＜2π）
（1）写出C的直角坐标方程；
（2）设线段MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）根据C的极坐标方程以及x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出C的普通方程即可；
（2）本题先根据曲线C的方程求出曲线C与x轴、y轴的交点坐标，再用中点坐标公式求出中点P的坐标，得到直线OP的极坐标方程

解答 解：（1）C：可化为$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}ρsinθ=1$，
∴C的普通方程为直线：$x+\sqrt{3}y-2=0$；
（2）∵曲线C的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{θ}{3}$）=1，
∴令θ=0，ρcos（-$\frac{π}{3}$）=1，ρ=2，M点的极坐标为（2，0）；
令θ=$\frac{π}{2}$，ρcos（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）=1，ρ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，N点的极坐标为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{π}{2}$）．
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，
∴点M、N的直角坐标分别为（2，0），（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
∴MN的中点P的三角坐标为P（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
∴直线OP的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，θ=$\frac{π}{6}$，
∴直线OP的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$，ρ∈（-∞，+∞）．

点评 本题考查的是极坐标与直角坐标的互化知识，先求出点的极坐标，再化成直角坐标，利用中点坐标公式，得到中点的直角坐标，再求出过原点的直线的倾斜角，得到直线的极坐标方程．本题思维量不大，属于基础题．