Question

已知x，y，z为实数，且x+y+z=1，求证：（3x-1）ln

x+1

x-1

+（3y-1）ln

y+1

y-1

+（3z-1）ln

z+1

z-1

＞0．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：数学模型法,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：本题通过函数定义域得到变量的范围，再分类讨论，得三式均大于0，故和大于0．

解答： 解：∵ln

x+1

x-1

有意义，
∴

x+1

x-1

＞0，
∴x＜-1或x＞1．
当x＞1时，3x-1＞0，

x+1

x-1

=1+

2

x-1

＞1，ln

x+1

x-1

＞0，（3x-1）ln

x+1

x-1

＞0．
当x＜-1时，3x-1＜0，

x+1

x-1

=1+

2

x-1

＜1，ln

x+1

x-1

＜0，（3x-1）ln

x+1

x-1

＞0．
∴（3x-1）ln

x+1

x-1

＞0，
同理（3y-1）ln

y+1

y-1

＞0，（3z-1）ln

z+1

z-1

＞0．
（3x-1）ln

x+1

x-1

+（3y-1）ln

y+1

y-1

+（3z-1）ln

z+1

z-1

＞0．
原命题成立．

点评：本题函数定义域、函数单调性和分类讨论的数学思想，本题难度不在，属于中档题．