Question

若空间四边形两条对角线的长度分别是6和8，所成角是45°，则连接各边中点所得四边形的面积是

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：根据题意，作出草图，找到所求的四边形，再探求该四边形的形状、各边及各角之间的联系，将四边形的面积问题转化为两个三角形问题求解．

解答： 解：如右图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
由中位线的性质知，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
由于两对角线所成角为45°，不妨设∠EFG=45°，
由题意又设对角线AC=6，BD=8，
则EF=

1

2

AC=3，FG=

1

2

BD=4，
连接EG，得S△EFG=

1

2

EF×FG×sin∠45°=3

2

，
从而S四边形EFGH=2S△EFG=6

2

．
故填6

2

．

点评：1、本题主要考查的两异面直线所成的角，三角形面积公式等，关键是能发现空间各直线之间的位置关系；
2、对于四边形的面积问题一般是转化为两个三角形问题求解．求解时，应弄清三角形各边长及内角等要素，然后运用三角形面积公式，常用的三角形面积公式有：S=

1

2

absinC和S=

1

2

×底×高．