Question

18．已知直线l₁：x+y-3m=0和l₂：2x-y+2m-1=0的交点为M．
（Ⅰ）若点M在第四象限，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当直线l₁在y轴上的截距为3是，求过点M且与直线l₂垂直的直线方程．

Answer 1

分析 （1）联立方程，求出方程组的解，得到M的坐标，根据点M在第四象限，得到关于m的不等式解得即可，
（2）根据l₁在y轴上的截距为3，求出m=1，即可求出M的坐标，设过点M且与直线l₂垂直的直线方程x+2y+c=0，将M的坐标代入即可求出c的值，问题得以解决．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3m=0}\\{2x-y+2m-1=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{m+1}{3}$，y=$\frac{8m-1}{3}$，
∴交点为M的坐标为（$\frac{m+1}{3}$，$\frac{8m-1}{3}$），
∵点M在第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+1}{3}＞0}\\{\frac{8m-1}{3}＜0}\end{array}\right.$，
解得-1＜m＜$\frac{1}{8}$，
（Ⅱ）∵直线l₁在y轴上的截距为3m，
∴3m=3，解得m=1，
∴M（$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{3}$），
设过点M且与直线l₂垂直的直线方程x+2y+c=0，
将点M（$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{3}$）代入解得c=-$\frac{16}{3}$，
故所求的直线方程为3x+6y-16=0．

点评 本题考查直线的一般式方程，涉及直线的垂直关系和直线的截距式方程，属基础题．