Question

7．设数列{a_n}的前n项的和为${S_n}={n^2}+n$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^{a_n}}$，数列{b_n}的前n项的和为T_n，若对一切n∈N^*，均有${T_n}∈（{\frac{1}{m+3}，{m^2}-6m+\frac{25}{3}}）$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用${S_n}={n^2}+n$与S_n-1=（n-1）²+（n-1），n≥2作差整理可知a_n-a_n-1=2（n≥2），进而可知数列{a_n}是首项、公差均为2的等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知数列{b_n}是首项、公比均为$\frac{1}{4}$的等比数列，利用等比数列的求和公式可知T_n∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$），解不等式即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}={n^2}+n$，
∴S_n-1=（n-1）²+（n-1），n≥2，
两式相减得：a_n=2n，
又∵a₁=1+1=2，
∴数列{a_n}是首项、公差均为2的等差数列，
故其通项公式a_n=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）由（I）可知${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^{a_n}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴数列{b_n}是首项、公比均为$\frac{1}{4}$的等比数列，
故T_n=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$），
∴$\frac{1}{m+3}$≤$\frac{1}{4}$，且$\frac{1}{3}$≤m²-6m+$\frac{25}{3}$，
∴m≥1，且m≤2或m≥4，
故1≤m≤2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及解不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．