Question

4．求函数f（x）=3x³-3x+1的极值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．

解答 解：首先求导函数，由导数公式表和求导法则，
可得f′（x）=9x²-3，解方程f′（x）=0，得${x_1}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，{x_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
根据x₁，x₂列表分析f′（x）的符号、f（x）的单调性和极值点：

x	$（-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$	$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$	$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞）$
f′（x）	+	0	-	0	+
y	递增	极大值	递减	极小值	递增

根据表可知${x_1}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$为函数f（x）=3x³-3x+1的极大值点，
函数在该点的极大值为：$f（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=1+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
${x_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$为函数f（x）=3x³-3x+1的极小值点，
函数在该点的极小值为$f（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=1-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．