Question

15．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P为线段AD′的中点，则异面直线CP与BA′所成角θ的值为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系
不妨设AB=2，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
P（1，0，1），A′（2，0，2）．
$\overrightarrow{CP}$=（1，-2，1），$\overrightarrow{B{A}^{′}}$=（0，-2，2）．
∴$cos＜\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{B{A}^{′}}＞$=$\frac{\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{B{A}^{′}}}{|\overrightarrow{CP}||\overrightarrow{B{A}^{′}}|}$=$\frac{6}{\sqrt{6}×\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$＜\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{B{A}^{′}}＞$=$\frac{π}{6}$．
∴异面直线CP与BA′所成角θ的值为$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了通过求向量的夹角公式求异面直线的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．