Question

设△A_nB_nC_n的三边长分别为a_n，b_n，c_n，n=1，2，3…，若b₁＞c₁，b₁+c₁=2a₁，a_n+1=a_n，b_n+1=

cn+an

2

，c_n+1=

bn+an

2

，则∠A_n的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,正弦定理,余弦定理的应用

专题：解三角形,不等式的解法及应用

分析：根据数列的递推关系得到b_n+c_n=2a₁为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论．

解答： 解：∵a_n+1=a_n，∴a_n=a₁，
∵b_n+1=

cn+an

2

，c_n+1=

bn+an

2

，
∴b_n+1+c_n+1=a_n+

bn+cn

2

=a₁+

bn+cn

2

，
∴b_n+1+c_n+1-2a₁=

1

2

（b_n+c_n-2a₁），
又b₁+c₁=2a₁，
∴当n=1时，b₂+c₂-2a₁=

1

2

（b₁+c₁+-2a₁）=0，
当n=2时，b₃+c₃-2a₁=

1

2

（b₂+c₂+-2a₁）=0，
…
∴b_n+c_n-2a₁=0，
即b_n+c_n=2a₁为常数，则由基本不等式可得b_n+c_n=2a₁≥2

bncn

，
∴b_nc_n≤(a1)2，
由余弦定理可得

a

2 n

=

b

2 n

+

c

2 n

-2bncncosAn=（b_n+c_n）²-2b_nc_n-2b_nc_ncosA_n，
即（a₁）²=（2a₁）²-2b_nc_n（1+cosA_n），
即2b_nc_n（1+cosA_n）=3（a₁）²≤2（a₁）²（1+cosA_n），
即3≤2（1+cosA_n），
解得cosA_n≥

1

2

，
∴0＜A_n≤

π

3

，
即∠A_n的最大值是

π

3

，
故答案为：

π

3

点评：本题考查数列以及余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大．