题目内容
已知△ABC的三角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且三边a，b，c成等差数列，b=4，C=2A．
（1）求cosA；
（2）求△ABC的面积．
（1）求cosA；
（2）求△ABC的面积．
考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用
专题：计算题,解三角形
分析：（1）利用a，b，c成等差数列，可得a+c=2b，从而可得sinA+sinC=2sinB，进一步可得（4cosA-3）（2cosA+1）=0，即可得出结论；
（2）由正弦定理可得a=
，再求出c，利用S△ABC=
bcsinA，可求△ABC的面积．
（2）由正弦定理可得a=
| bsinA |
| sinB |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）∵a，b，c成等差数列，
∴a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB，
∵C=2A，
∴sinA+sin2A=2sin3A，
∴sinA+2sinAcosA=2（3sinA-4sin3A），
∴（4cosA-3）（2cosA+1）=0，
∴cosA=
（负值舍去）；
（2）由正弦定理可得a=
=
=
，
∴c=8-
=
，
∴S△ABC=
bcsinA=
•4•
•
=
．
∴a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB，
∵C=2A，
∴sinA+sin2A=2sin3A，
∴sinA+2sinAcosA=2（3sinA-4sin3A），
∴（4cosA-3）（2cosA+1）=0，
∴cosA=
| 3 |
| 4 |
（2）由正弦定理可得a=
| bsinA |
| sinB |
| b |
| 3-4sin2A |
| 16 |
| 5 |
∴c=8-
| 16 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 5 |
| ||
| 4 |
12
| ||
| 5 |
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．
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≥
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| 1 |
| x |
| 1 |
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