Question

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=f（x）=

a

x-2

+b（x-5）²，其中2＜x＜5，a，b为常数，已知销售价格为4元/千克时，每日可销售出该商品5千克；销售价格为4.5元/千克时，每日可销售出该商品2.35千克．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若该商品的成本为2元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润f（x）最大．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：应用题,导数的概念及应用

分析：（1）由销售价格为4元/千克时，每日可销售出该商品5千克；销售价格为4.5元/千克时，每日可销售出该商品2.35千克，建立方程，即可求出f（x）的解析式；
（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．

解答： 解：（1）由题意，

f(4)= a 2 +3=5 f(4.5)= 2a 5 + b 4 =2.35

，解得a=4，b=3，故f（x）=

4

x-2

+3（x-5）²；…（4分）
（ II）商场每日销售该商品所获得的利润为y=g（x）=（x-2）f（x）=4+3（x-2）（x-5）（2＜x＜5）²…（6分）
y′=9（x-3）（x-5）…（9分）
列表得x，y，y′的变化情况：

x	（2，3）	3	（3，5）
y′	+	0	-
y	↗	极大值16	↘

（11分）
由上表可得，x=3是函数f（x）在区间（2，5）内的极大值点，也是最大值点．…（12分）
所以，当x=3时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于16．当销售价格为3元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．…（14分）

点评：本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．