Question

已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．

Answer 1

考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，结合幂函数的性质，求出m的取值范围，验证得出符合题意的m值即可；
（2）求出g（x）的解析式，讨论a＞1和0＜a＜1时，求出函数g（x）的值域．

解答： 解：（1）因为f（3）＜f（5），所以由幂函数的性质得，-2m²+m+3＞0，
解得-1＜m＜

3

2

，
又因为m∈Z，所以m=0或m=1，
当m=0时，f（x）=m³不是偶函数；
当m=1时，f（x）=x²是偶函数，
所以m=1，f（x）=x²；
（2）由（1）知g（x）=log_a（x²-2x），
设t=x²-2x，x∈（2，3]，则t∈（0，3]，
此时g（x）在（2，3]上的值域，就是函数y=log_at，t∈（0，3]的值域；
当a＞1时，y=log_at在区间（0，3]上是增函数，所以y∈（-∞，log_a3]；
当0＜a＜1时，y=log_at在区间（0，3]上是减函数，所以y∈[log_a3，+∞）；
所以当a＞1时，函数g（x）的值域为（-∞，log_a3]，
当0＜a＜1时，g（x）的值域为[log_a3，+∞）．

点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题目．