Question

函数f（x）=xlog₂x-3的零点所在区间为（k，k+1）（k∈Z），则k的值是

 

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Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：求f′（x），判断函数f（x）取得最值的情况，以及取得零点的情况，及零点的个数，并且能够得到函数f（x）只有一个零点，并且是在（2^-ln2，+∞）内．容易判断f（2）＜0，f（3）＞0，所以零点在区间（2，3）内，所以根据已知f（x）在（k，k+1），k∈Z，内有零点，所以k=2．

解答： 解：f′（x）=ln2+log₂x，令f′（x）=0得，x=2^-ln2，且0＜2^-ln2＜1；
∴x∈（0，2^-ln2）时，f′（x）＜0，x∈（2^-ln2，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，2^-ln2）上单调递减，在（2^-ln2，+∞）上单调递增；
又x趋向于0时，log₂x＜0，x＞0，∴xlog₂x＜0，即函数f（x）在（0，2^-ln2）内不存在零点；
又∵f（2）=2-3＜0，f（3）=3log₂3-3＞0；
∴f（x）在区间（2，3）内存在一个零点，且在（2^-ln2，+∞）内只有一个零点；
由已知f（x）零点所在区间为（k，k+1），（k∈Z）；
∴k=2．
故答案为：2．

点评：考查通过判断函数导数符号判断函数单调性的方法，以及函数零点的概念，以及单调函数取得零点的情况．