Question

在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cos

C

2

=

5

3

，
（1）求cosC的值；
（2）若acosB+bcosA=2，a=

2

，求sinA的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由二倍角的余弦公式代入已知即可求cosC的值．
（2）由已知及余弦定理可得a×

a2+c2-b2

2ac

+b×

c2+b2-a2

2bc

=2，从而解得c的值，求得sinC的值，即可由正弦定理求得sinA的值．

解答： 解：（1）∵cos

C

2

=

5

3

，
∴cosC=2cos²

C

2

-1=2(

5

3

)2-1=

1

9

．
（2）∵acosB+bcosA=2，
∴由余弦定理可得：a×

a2+c2-b2

2ac

+b×

c2+b2-a2

2bc

=2，
∴从而解得：c=2，
又∵a=

2

，cosC=

1

9

，
∴sinC=

1-cos2C

=

4 5

9

，
∴由

c

sinC

=

a

sinA

得sinA=

asinC

c

=

2 × 4 5 9

2

=

2 10

9

．

点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，考察了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．