Question

12．为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：

睡眠时间（小时）	[4，5）	[5，6）	[6，7）	[7，8）	[8，9）
人数	1	5	6	5	3

男生

睡眠时间（小时）	[4，5）	[5，6）	[6，7）	[7，8）	[8，9）
人数	2	4	8	4	2

女生
（I）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；
（II）完成下面2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

	睡眠时间少于7小时	睡眠时间不少于7小时	合计
男生
女生
合计

（${x}^{2}=\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （I）睡眠时间不足6小时的女生共6人，其中“严重睡眠不足”的有2人，结合古典概型概率计算公式，可得答案．
（II）根据所给数据可完成2×2列联表，利用公式求出K²，与临界值比较，可得结论

解答 解：（I）睡眠时间不足6小时的女生共6人，其中“严重睡眠不足”的有2人，
从中抽取3个，则共有C₆³=20种不同的抽取方法；
其中恰有一人为“严重睡眠不足”抽取方法有：C₄²•C₂¹=12种，
故此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率P=$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$，
（II）由题意可得满足条件的2×2列联表如下图所示：

	睡眠时间少于7小时	睡眠时间不少于7小时	合计
男生	12	8	20
女生	14	6	20
合计	26	14	40

∴${K}^{2}=\frac{n{（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{40×（12×6-14×8）^{2}}{26×14×20×20}$≈0.44，
∵0.44＜2.706．
∴没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．

点评 本题考查的知识点是古典概型，2×2列联表，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于基础题．