Question

4．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，a₁=$\frac{1}{2}，且{a_3}^2=4{a_2}{a_6}$．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n求数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出等比数列的公比，代入通项公式得答案；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求出b_n，然后由裂项相消法求$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由${{a}_{3}}^{2}=4{a}_{2}{a}_{6}$，得${{a}_{3}}^{2}=4{{a}_{4}}^{2}$，
∴${q}^{2}=\frac{1}{4}$，由条件可知，q＞0，∴q=$\frac{1}{2}$．
∵${a}_{1}=\frac{1}{2}$，∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=-（1+2+…+n）=-$\frac{n（n+1）}{2}$．
故$\frac{1}{{b}_{n}}=-\frac{2}{n（n+1）}=-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+…+\frac{1}{{b}_{n}}=-2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$-\frac{2n}{n+1}$．
∴数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和为$-\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．