Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²-3ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{9}$）∪（$\frac{3}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 求导，得f′（x）=ax²+2ax-3a=a（x+3）（x-1），要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（-3）f（1）＜0，再进一步计算即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²-3ax+1，
∴f′（x）=ax²+2ax-3a=a（x-1）（x+3），
令f′（x）=0，
解的x=1或x=-3，是函数的极值点，当a＞0时，f（-3）是极大值，f（1）是极小值，f（-3）f（1）＜0，当a＜0时，f（-3）是极小值，f（1）是极大值，f（-3）f（1）＜0，
所以，要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（-3）f（1）＜0，
∵f（-3）=$\frac{1}{3}$a（-3）³+a（-3）²-3a（-3）+1=9a+1，
f（1）=$\frac{1}{3}$a+a-3a+1=1-$\frac{5}{3}$a，
∴（9a+1）（1-$\frac{5}{3}$a）＜0，
即（a+$\frac{1}{9}$）（a-$\frac{3}{5}$）＞0，
解的a＜-$\frac{1}{9}$，或a＞$\frac{3}{5}$
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{9}$）∪（$\frac{3}{5}$，+∞）．

点评 本题考查函数与导数的应用，利用导数判断函数的单调性，函数零点的应用，函数值的变化从而确定其性质．