Question

17．已知f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，当x∈[0，3]时，f（x）=log₂（x+1）函数g（x）=x²-2x+m，x∈[-3，3]．如果对于任意x₁∈[-3，3]，存在x₂∈[-3，3]，使得g（x₂）=f（x₁），则实数m的取值范围是-13≤m≤-1．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．

解答 解：∵f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，∴f（0）=0，
当x∈（0，3]时，f（x）=log₂（x+1）∈（0，2]，
则当x∈[-3，3]时，f（x）∈[-2，2]，
若对于?x₁∈[-3，3]，?x₂∈[-3，3]，使得g（x₂）=f（x₁），
则等价为g（x）_max≥2且g（x）_min≤-2，
∵g（x）=x²-2x+m=（x-1）²+m-1，x∈[-3，3]，
∴g（x）_max=g（-3）=15+m，g（x）_min=g（1）=m-1，
则满足15+m≥2且m-1≤-2，
解得m≥-13且m≤-1，
故答案为：-13≤m≤-1．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．