Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}中，b₁=1，b_n=2b_n-1+1（n≥2），求{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若c_n=a_n（b_n+1），求数列{c_n}前几项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n=n²+2n，利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2），再验证n=1，可求得a_n=2n+1；
（Ⅱ）易知，{b_n+1}是2为首项，2为公比的等比数列，于是可求{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）c_n=a_n（b_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，T_n=c₁+c₂+…+c_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）•2ⁿ①，2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹②利用错位相减法即可求得T_n=（2n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=n²+2n，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
当n=1时，a₁=3，也符合上式，
∴a_n=2n+1；
（Ⅱ）由题意知b_n=2b_n-1+1，∴b_n+1=2（b_n-1+1）（n≥2），
∴

bn+1

bn-1+1

=2
∵b₁+1=2，∴{b_n+1}是2为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ．
∴b_n=2ⁿ-1．
（Ⅲ）∵c_n=a_n（b_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）•2ⁿ，①
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=3×2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n+1)

1-2

-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺²-（2n+1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系与等比关系的确定及通项公式的应用，突出考查错位相减法的应用，属于难题．