Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=BC=1，CC₁=2，AC₁与平面BCC₁B₁所成角为30°，AB⊥平面BB₁C₁C．
（I）求证：BC⊥AC₁；
（Ⅱ）求二面角C-AC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结BC₁，由已知条件推导出CB⊥AB，CB⊥BC₁，从而得到CB⊥平面ABC₁，由此能证明CB⊥AC₁．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出二面角C-AC₁-B₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连结BC₁，∵AB⊥平面BCC₁B₁，∴∠AC₁B=30°，
∵AB=1，∴BC₁=

3

，
∵BC=1，CC₁=2，
∴BC2+BC12=CC12，∴∠CBC1=90 °，
∵CB⊥AB，CB⊥BC₁，∴CB⊥平面ABC₁，
∴CB⊥AC₁．
（Ⅱ）解：建立空间直角坐标系B-xyz，
由题意知B（0，0，0），C（1，0，0），C1(0，

3

，0)，
A（0，0，1），B1(-1，

3

，0)，
∴

AC1

=(0，

3

，-1)，

CC1

=(-1，

3

，0)，

C1B1

=(-1，0，0)，
设平面ACC₁的法向量

m

=(x，y，z)，
则

m • AC1 = 3 y-z=0 m • OC1 =-x+ 3 y=0

，取x=1，得

m

=(1，

3

3

，1)
设平面AB₁C₁的法向量为

n

=(x1，y1，z1)，
则

n • B1C1 =-x1=0 n • AC1 = 3 y1-z1=0

，取z₁=1，得

n

=(0，

3

3

，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

1 3 +1

7 3 • 4 3

=

2 7

7

，
∵二面角C-AC₁-B₁的平面角是钝角，∴二面角C-AC₁-B₁的余弦值是-

2 7

7

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．