Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=-1时判断f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）+ax在其定义域内为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0时f（x）的图象关于y=x对称得到函数h（x），若直线y=kx与曲线y=2x+

1

h(x)

没有公共点，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的正负性来判断函数的单调性；
（Ⅱ）g（x）在定义域内单调递减，则其导函数g′（x）≤0在其定义域内恒成立；
（Ⅲ）利用分离变量法，构造函数求其值域，从而求出无交点时k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当x=-1时，f（x）的定义域为（0，+∞），
f（x）=lnx+

1

x

，∴f′(x)=

x-1

x2

，
∴当0＜x＜1，f'（x）＜0；当x＞1，f'（x）＞0
∴f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）g(x)=f(x)+ax=lnx-

a

x

+ax，g（x）的定义域为（0，∞），
∴g′(x)=

ax2+x+a

x2

，因为g（x）在其定义域内为减函数，
所以?x∈（0，+∞），都有g'（x）≤0，
∴g′（x）≤0?ax2+x+a≤0?a(x2+1)≤-x?a≤

-x

x2+1

?a≤[

-x

x2+1

]min，
又∵

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

∴

-x

x2+1

≥-

1

2

，
当且仅当x=1时取等号，所以a≤-

1

2

．
（Ⅲ）当a=0时，f（x）=lnx．∴h（x）=e^x
直线l：y=kx与曲线y=2x+

1

h(x)

=2x+

1

ex

没有公共点，
等价于关于x的方程2x+

1

ex

=kx，即(k-2)x=

1

ex

（*）在R上没有实数解，
（1）当k=2时，方程（*）可化为

1

ex

=0，在R上没有实数解，
（2）当k≠2时，方程（*）化为g（x）=xe^x

1

k-2

=xex．
令g（x）=xe^x，则有g′（x）=（1+x）e^x，令g′（x）＞0，得x＞-1，g′（x）＜0得x＜-1，
∴g（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上音调递增，
即当x=-1时，g（x）有极小值，也是最小值g(x)min=-

1

e

，同时当x→+∞时，g（x）→+∞，
从而g（x）的取值范围为[-

1

e

，+∞)，
∴当

1

k-2

∈(-∞，-

1

e

)时，方程（*）无实数解，
解得k的取值范围是（2-e，2）；
综合（1）、（2），得k的取值范围是（2-e，2]．

点评：本题是一道导数的综合题，利用导数这个工具研究函数的单调性，利用单调性求式中参数的取值范围，即转化成恒成立问题．这些都是常考题型，所以在平时要多多练习．属于中档试题．