Question

已知函数f（x）=

x

，g（x）=

x

4x-a

．函数g（x）在（1，+∞）上单调递减．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）•g（x），x∈[1，4]，求函数y=h（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）化简函数g（x）的解析式，根据函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，可得

a＞0 a 4 ≤1

，从而求得a的范围．
（2）根据导数的符号可得函数单调性，再根据函数的单调性，求得函数y=h（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵g(x)=

x

4x-a

=

1 4 (4x-a)+ 1 4 a

4x-a

=

1

4

+

a

4(4x-a)

，g（x）在（1，+∞）单调递减，
所以，

a＞0 a 4 ≤1

，即0＜a≤4．
（2）∵h(x)=

x

•

x

4x-a

=

( x )3

4x-a

，h′(x)=

3 2 x 1 2 (4x-a)-4x 3 2

(4x-a)2

=

2 x (x- 3a 4 )

(4x-a)2

，
因为0＜a≤4，所以0＜

3a

4

≤3．
当0＜

3a

4

≤1，即0＜a≤

4

3

时，h（x）在[1，4]上单调递增，所以(h(x))min=h(1)=

1

4-a

；
当1＜

3a

4

≤3，即

4

3

＜a≤4时，h（x）在[1，

3a

4

)上单调递减，在[

3a

4

，4]单调递增，所以(h(x))min=h(

3a

4

)=

3 3a

16

．

点评：本题主要考查函数的单调性的性质，利用函数的单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．