Question

已知函数f（x）=ax²+bx+3a+b，定义域为[a-1，2a]．
（1）若f（x）为偶函数，求a、b的值；
（2）若取（1）中求出的a值，求f（x）在[a-1，2a]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的最值及其几何意义,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）为偶函数，得2a=-a+1，求得a值后代入f（x），再由f（-x）-f（x）=0求得b的值；
（2）把a=

1

3

代入则f（x），在求出函数定义域[-

2

3

，

2

3

]，然后分类求得f（x）的最小值．

解答： 解：（1）若f（x）为偶函数，则2a=-a+1，即a=

1

3

，
则f（x）=

1

3

x²+bx+1+b，
再由f（-x）-f（x）=0，得

1

3

(-x)2+b(-x)+1+b-

1

3

x²-bx-1-b=-2bx=0，b=0．
∴a=

1

3

，b=0；
（2）a=

1

3

，则f（x）=

1

3

x²+bx+1+b，x∈[-

2

3

，

2

3

]，
对称轴方程为x=-

3b

2

．
若-

3b

2

＜-

2

3

，即b＞

4

9

，f(x)min=f(-

2

3

)=

b

3

+

31

27

；
若-

3b

2

＞

2

3

，即b＜-

4

9

，f(x)min=f(

2

3

)=

5b

3

+

31

27

；
若-

2

3

≤-

3b

2

≤

2

3

，即-

4

9

≤b≤

4

9

，f(x)min=f(-

3b

2

)=-

3b2

4

+b+1．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了二次函数最值的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．