Question

已知在等比数列{a_n}中，2a₂=a₁+a₃-1，a₁=1．
（1）若数列{b_n}满足b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=a_n（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₁=1，2q=q²，从而得到an=2n-1．由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由（1）得S_n=1+2×2⁰+3×2¹+4×2²+…+n•2^n-2，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，2a₂=a₁+a₃-1，
即2a1q=a1+a1q2-1，
∵a₁=1，∴2q=q²，
∵q≠0，∴q=2，an=2n-1．
又b1+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn

n

=an，①
当n≥2时，b₁+

b2

2

+

b3

3

+…+

bn-1

n-1

=a_n-1，②
①-②，得

bn

n

=an-an-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2，
∴b_n=n•2^n-2，n≥2．
∴b_n=

1，n=1 n•2n-2，n≥2

．
（2）由（1）得S_n=1+2×2⁰+3×2¹+4×2²+…+n•2^n-2，③
2S_n=2+2×2¹+3×2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，④
③-④得
-S_n=1+2+2²+…+2^n-2-n•2^n-1
=

1-2n-1

1-2

-n•2^n-1
=（1-n）•2^n-1-1，
∴S_n=（n-1）•2^n-1+1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．