Question

设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意正数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1．若对于正数a、b满足f（2a+b）＜2，求

b+2

a+2

的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：先利用赋值法，求出f（4）=2，得到2a+b＜4，且2a+b＞0，由线性规化可得关于（a，b）可行域，可求式化为k=

b+2

a+2

=

b-(-2)

a-(-2)

，转化为可行域内的动点（a，b）与定点（-2，-2）连线的斜率可获得解

解答： 解：令x=y=2，则f（2×2）=f（2）+f（2），
∴f（4）=2f（2）=2×1=2．
∵f（2a+b）＜2=f（4），f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴2a+b＜4
∵2a+b＞0，由线性规化可得关于（a，b）可行域，
∵设k=

b+2

a+2

=

b-(-2)

a-(-2)

，
∴k就是可行域内的动点B（a，b）与定点A（-2，-2）连线的斜率
∵k_AD=

4+2

2

=3，k_AC=

2

2+2

=

1

2

，
∴k的范围为（

1

2

，3），
即求

b+2

a+2

的取值范围为（

1

2

，3）

点评：本题考查了抽象函数的求值及利用线性规划求取值范围，关键

b+2

a+2

转化为斜率的问题，属于中档题．