Question

已知函数f（x）满足f（x）=4x²+2x+1．
（1）设g（x）=f（x-1）-2x，求g（x）在[-2，5]上的值域；
（2）设h（x）=f（x）-mx，在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围；
（3）F（x）=f（x）-2mx在[0，3]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出g（x）=f（x-1）-2x的解析式，结合二次函数的图象和性质可得：g（x）在[-2，5]上的值域；
（2）求出h（x）=f（x）-mx，若在[2，4]上是单调函数，则区间在对称轴的一侧，进而求得m的取值范围；
（3）求出F（x）=f（x）-2mx的解析式，分类讨论区间[0，3]与对称轴的关系，可得[0，3]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=4x²+2x+1．
∴g（x）=f（x-1）-2x=4（x-1）²+2（x-1）+1-2x=4x²-8x+3．
∵g（x）的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
当x=1时，函数取最小值-1，当x=-2或5时，函数取最大值63；
（2）∵h（x）=f（x）-mx=4x²+（2-m）x+1的图象是开口朝上，且以直线x=

m-2

8

为对称轴的抛物线，
若h（x）在[2，4]上是单调函数，则

m-2

8

≤2，或

m-2

8

≥4，
解得：m≤18，或m≥34，
（3）∵F（x）=f（x）-2mx=4x²+（2-2m）x+1的图象是开口朝上，且以直线x=

m-1

4

为对称轴的抛物线，
当

m-1

4

≥3，即m≥13时，F（x）在[0，3]上为减函数，当x=3时，函数取最小值43-6m，
当0＜

m-1

4

＜3，即1＜m＜13时，F（x）在[0，

m-1

4

]上为减函数，在[

m-1

4

，3]上为增函数，
当x=

m-1

4

时，函数取最小值

-m2+2m+3

4

，
当

m-1

4

≤0，即m≤1时，F（x）在[0，3]上为增函数，当x=0时，函数取最小值1．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．