Question

给出下列四个命题：
①若x＞0，且x≠1则lgx+

1

lgx

≥2；
②设x，y∈R，命题“若xy=0，则x²+y²=0”的否命题是真命题；
③函数y=cos（2x-

π

3

）的一条对称轴是直线x=

5

12

π；
④若定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，则对定义域内的任意x必有f（2x+1）+f（-2x-1）=0．
其中，所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：求出当0＜x＜1时lgx+

1

lgx

的范围判断①；判断原命题的逆命题的真假，从而得到原命题的否命题的真假判断②；把x=

5

12

π代入函数y=cos（2x-

π

3

）求得函数值判断③；
由奇函数的概念结合自变量的任意性判断④．

解答： 解：对于①，当0＜x＜1时，lgx＜0，则lgx+

1

lgx

≤-2，命题①错误；
对于②，设x，y∈R，命题“若xy=0，则x²+y²=0”的逆命题为“若x²+y²=0，则xy=0”，为真命题，则其否命题也为真命题，命题②是真命题；
对于③，∵cos(2×

5π

12

-

π

3

)=cos

π

2

=0，∴函数y=cos（2x-

π

3

）的一条对称轴是直线x=

5

12

π为假命题；
对于④，若定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，则对定义域内的任意x必有f（x）+f（-x）=0，取x为2x+1，则f（2x+1）+f（-2x-1）=0，命题④正确．
故答案为：②④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，对于④的周期理解是解答该题的关键，是基础题．