Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx）．设函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值单递增区间；
（Ⅱ）在角A为锐角的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正切函数,三角形中的几何计算,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）首先，结合平面向量的数量积的坐标运算，得到函数的解析式，然后，借助于二倍角公式化简函数解析式，f（x）=4

2

sin（2x-

π

4

）+2，然后，根据三角函数的图象和性质求解；
（Ⅱ）根据f（A）=6得到A=

π

4

，然后，根据三角形的面积和b+c=2+3

2

，构造等式，结合余弦定理求解a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx-2cosx）
=6sin²x-2cos²x+8sinxcosx
=4sin2x-4cos2x+2
=4

2

sin（2x-

π

4

）+2，
令2x-

π

4

=

π

2

+2kπ（k∈Z），
得x=

3π

8

+kπ（k∈Z），
∴f（x）max=4

2

+2，
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可解得：kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

（k∈Z）
∴单递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，（k∈Z）
（Ⅱ）由（I）可得f（A）=4

2

sin（2A-

π

4

）+2=6，
∴sin（2A-

π

4

）=

2

2

．
∵0＜A＜

π

2

，
∴-

π

4

＜2A-

π

4

＜

3π

4

．
从而2A-

π

4

=

π

4

，
∴A=

π

4

，
又∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

4

bc=3，
∴bc=6

2

，
又b+c=2+3

2

，
∴a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bc×

2

2

=（2+3

2

）2-12

2

-2×6

2

×

2

2

=10，
∴a=

10

．

点评：本题综合考查了平面向量的基本运算、二倍角公式、三角恒等变换公式、三角形的面积公式、余弦定理等知识，属于中档题．