Question

15．已知f（x）=alnx+bx²在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y-2=0
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[1，+∞）时，$f（x）≥\frac{k^2}{x}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a，b的方程，解方程可得所求值；
（2）由题意可得k²≤x（lnx+x²）在[1，+∞）的最小值，求出y=x（lnx+x²）的导数，判断单调性，即可得到所求最小值，解不等式即可得到所求k的范围．

解答 解：（1）f（x）=alnx+bx²的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$+2bx，
可得切线的斜率为a+2b，且f（1）=b，
由切线方程为3x-y-2=0，可得a+2b=3，b=1，
解得a=1，b=1；
（2）当x∈[1，+∞）时，$f（x）≥\frac{k^2}{x}$恒成立，
即为k²≤x（lnx+x²）在[1，+∞）的最小值，
由y=x（lnx+x²）的导数为y′=1+lnx+3x²，
由x≥1可得1+lnx+3x²≥4，
即有函数y在x∈[1，+∞）递增，
即有x（lnx+x²）在[1，+∞）的最小值为1．
则k²≤1，解得-1≤k≤1．
即有实数k的取值范围为[-1，1]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查方程思想和转化思想，以及参数分离，考查运算能力，属于中档题．