Question

13．若将函数f（x）=cosx-sinx的图象向右平移m个单位后恰好与函数y=-f′（x），的图象重合，则m的值可以为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． π

Answer 1

分析 f（x）的图象向右平移m个单位后，的到的函数为y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+m-x），函数y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由题意可得 $\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+m-x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），故有$\frac{π}{4}$+m-x=x+$\frac{π}{4}$+2kπ，或$\frac{π}{4}$+m-x=2kπ+π-（x+$\frac{π}{4}$），k∈z．结合所给的选项，得出结论．

解答 解：函数f（x）=cosx-sinx=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）=-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
函数y=-f′（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$（sinx $\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
把f（x）的图象向右平移m个单位后，得到的函数为y=-$\sqrt{2}$sin[（x-m）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+m-x），
由题意可得 $\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+m-x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
故有 $\frac{π}{4}$+m-x=x+$\frac{π}{4}$+2kπ，或 $\frac{π}{4}$+m-x=2kπ+π-（x+$\frac{π}{4}$），k∈z．
结合所给的选项，只有B才满足条件，
故选：B．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，求得$\frac{π}{4}$+m-x=x+$\frac{π}{4}$+2kπ，或$\frac{π}{4}$+m-x=2kπ+π-（x+$\frac{π}{4}$），k∈z，是解题的关键，属于中档题．