Question

在△ABC中，已知点A（5，-2），B（7，3），且AC边上的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线MN的方程；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：直线的一般式方程,三角形的面积公式

专题：解三角形,直线与圆

分析：（1）设顶点C的坐标为（x，y）则有

5+x 2 =0 3+y 2 =0

即可解得x=-5，y=-3；
（2）由（1）可求得M的坐标为（0，-

5

2

），N的坐标为（1，0），故有直线MN的方程：y=

5

2

x-

5

2

．
（3）由（1）可求得直线BC的方程为：x-2y-1=0，由两点间距离公式得：|BC|=

(-5-7)2+(-3-3)2

=6

5

，点A到直线BC的距离为：d=

|5+(-2)×(-2)-1|

12+(-2)2

=

8

5

5

．
故可求△ABC的面积S．

解答： 解：（1）设顶点C的坐标为（x，y），
∵在△ABC中，AC边上的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上．
∴

5+x 2 =0 3+y 2 =0

即可解得x=-5，y=-3
故顶点C的坐标为（-5，-3）．
（2）由（1）可求得M的坐标为（0，-

5

2

），N的坐标为（1，0）．
故有直线MN的方程：

y-0

- 5 2 -0

=

x-1

0-1

，化简可得y=

5

2

x-

5

2

．
（3）由（1）可求得直线BC的方程为：x-2y-1=0．
由两点间距离公式得：|BC|=

(-5-7)2+(-3-3)2

=6

5

．
点A到直线BC的距离为：d=

|5+(-2)×(-2)-1|

12+(-2)2

=

8

5

5

．
故△ABC的面积S=

1

2

|BC|d=

1

2

×6

5

×

8

5

5

=24．

点评：本题主要考察了直线的一般式方程，两点式方程，两点间距离公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式等的应用，综合性较强，属于中档题．