Question

在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数f（x）=

1

2

x²+ax-b在区间（-1，1）上有且仅有一个零点的概率为

 

．

Answer 1

考点：随机事件

专题：概率与统计

分析：关键是要找出函数f（x）=

1

2

x²+ax-b在区间（-1，1）上有且仅有一个零点时（a，b）点对应的图形的面积，并将其代入几何概型的计算公式，进行求解．

解答： 解：若函数f（x）=

1

2

x²+ax-b在区间（-1，1）上有且仅有一个零点，
①△=0时，即a²+2b=0，因为a＞0，b＞0，所以无解；
②△≠0时，则f（-1）•f（1）＜0，
即(

1

2

-a-b)(

1

2

+a-b)＜0，即a²＞（

1

2

-b）²，
故a，b满足

a＞| 1 2 -b| 0≤a≤1 0≤b≤1

，
如下图，

满足条件的（a，b）落在阴影上，
∵S_阴影=1-

1

4

=

3

4

，
∴函数f（x）=

1

2

x²+ax-b在区间（-1，1）上有且仅有一个零点的概率为P=

S阴影

S矩形

=

3 4

1

=

3

4

；
故答案为：

3

4

．

点评：本题考查了几何概型的概率估算公式的运用；几何概型概率的计算中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．