题目内容
14．
祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家．祖暅在数学上有突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的计算原理：祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，请同学们用祖暅原理解决如下问题：如图，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（而且球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），然后将球取出，则这时容器中水的深度为$\root{3}{15}$r．
分析 作出轴截面，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为$\sqrt{3}$r，容器内水的体积为V=V圆锥-V球，由此能求出结果．
解答 
解：如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，
根据切线性质知当球在容器内时，
水的深度为3r，水面半径BC的长为$\sqrt{3}$r，
则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=$\frac{π}{3}$（$\sqrt{3}$r）2•3r-$\frac{4π}{3}$r3=$\frac{5π}{3}$r3，
将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$h，
从而容器内水的体积为V′=$\frac{π}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{3}$h）2h=$\frac{π}{9}$h3，
由V=V′，得h=$\root{3}{15}$r．
故答案为：$\root{3}{15}$r．
点评 本题考查容器中水的深度的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．
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