Question

已知定点A（0，a）（a＞0），直线l₁：y=-a交y轴于点B，记过点A且与直线l₁相切的圆的圆心为点C．
（1）求动点C的轨迹E的方程；
（2）设倾斜角为α的直线l₂过点A，交轨迹E于两点P、Q．若tanα=1，且△PBQ的面积为

2

，求a的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知可得，点C的轨迹是以A为焦点，l₁为准线的抛物线，由此能求出轨迹E的方程．
（2）直线l₂的方程为y=x+a，与抛物线方程联立消去y得，x²-4ax-4a²=0．由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出结果．

解答： 解：（1）由已知可得，点C的轨迹是以A为焦点，l₁为准线的抛物线，
∴轨迹E的方程为x²=4ay（a＞0）．…（4分）
（2）直线l₂的方程为y=x+a，
与抛物线方程联立消去y得，x²-4ax-4a²=0．
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=4a，x1x2=-4a2．…（6分）
∴S_△PBQ=S_△PAB+S_△QAB
=a|x₁|+a|x₂|=a|x₂-x₁|
=a

(x_+x2)2-4x1x2

=a

16a2+16a2

=4

2

a2=

2

．…（10分）
注意到a＞0，∴a=

1

2

．…（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与圆锥曲线的综合应用，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式的合理运用．