Question

已知函数f（x）=x²+2x-3
（1）求函数y=f（|x|）的值域并写出单调区间；
（2）讨论函数y=|f（x）|与y=m+1交点的个数．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）结合一元二次函数的图象和性质即可求函数y=f（|x|）的值域并写出单调区间；
（2）作出两个函数的图象即可讨论函数y=|f（x）|与y=m+1交点的个数．

解答： 解：（1）当x≥0时，f（|x|）=f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4
函数的对称轴方程为x=-1，故函数在[0，+∞）上为增函数    （2分），
∴f（|x|）≥f（0）=-3，
∵f（|-x|）=f（|x|），
∴y=f（|x|）为偶函数
函数f（|x|）的值域为[-3，+∞）（4分）
函数f（|x|）在（-∞，0]单调递减，在[0，+∞）上为增函数   如图（1）（6分）
（2）分别画出函数y=f（|x|），y=m+1图象，由图象观察可得图（2）
当m＜-1时，它们无交点，故交点个数为0个；             （8分）
当m=-1或m＞3时，它们有两个交点，故交点个数为2个；  （10分）
当-1＜m＜3时，它们有四个交点，故交点个数为4个    （12分）
当m=3时它们有三个交点，故交点个数为3            （14分）

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．