Question

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的焦点为（-

3

，0）（

3

，0），离心率为

3

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若圆M：x²+（y-m）²=1上的点到椭圆上的点的最远距离为

5

+1，求m的值；
（3）过坐标原点作斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，点N为椭圆上任意一点（异于点P，Q），设直线NP，NQ的斜率均存在且分别记为k_Np，k_NQ．证明：对任意k，恒有k_NPk_NQ=-

1

4

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意得

c= 3 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）原题转化为求MT取最大值实数m的求解，设T（x，y），则MT²=x²+（y-m）²=-3y²-2my+m²+4（-1≤y≤1），由此利用分类讨论思想能求出m的值．
（3）由已知得k_NP•k_NQ=

y1-y0

x1-x0

•

y1+y0

x1+x2

=

y12-y02

x12-x02

，由此能证明对任意k，恒有k_NPk_NQ=-

1

4

．

解答： （1）解：由题意得

c= 3 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）解：设圆M上任取一点S，椭圆上任取一点T，则ST≤MT+MS=MT+1，
故转化为求圆心M到椭圆上点T的距离的最大值，即MT的最大值，
设T（x，y），则MT²=x²+（y-m）²，
又∵点T在椭圆上，∴

x2

4

+y2=1，
∴MT²=x²+（y-m）²=-3y²-2my+m²+4（-1≤y≤1），
当-

m

3

≤1，即m≥3，此时y=-1，
MT²取到最大值为m²+2m+1，
∴（m+1）²=5，解得m=-1±

5

∉[3，+∞），舍去，
当-

m

3

≥1，即m≤-3时，此时y=1，MT²取到最大值为m²-2m+1，
∴（m-1）²=5，解得m=1±

5

∉（-∞，-3]，舍去，
当-1＜-

m

3

＜1，即-3＜m＜3时，y=-

m

3

，
MT²取到最大值为

4

3

m2+4，
∴

4

3

m2+4=5，解得m=±

3

2

∈(-3，3)，符合题意，
∴m的值为±

3

2

．
（3）证明：根据题意知P，Q关于原点对称，
∴kNP=

y1-y0

x1-x0

，kNQ=

y1+y0

x1+x0

，
∴k_NP•k_NQ=

y1-y0

x1-x0

•

y1+y0

x1+x2

=

y12-y02

x12-x02

，
又点P，N在椭圆上，
∴

x02 4 +y02=1 x12 4 +y12=1

，
两式相减，得

y12-y02

x12-x02

=-

1

4

，
∴对任意k，恒有k_NPk_NQ=-

1

4

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查直线的斜率之积为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．