Question

18．已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=$\sqrt{n+1}$-1，n∈N^*．算出数列的前4项的值后，猜想该数列的通项公式是$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 根据题意，依次计算数列{a_n}的前4项，分析可得答案．

解答 解：根据题意，数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=$\sqrt{n+1}$-1，n∈N^*．
则a₁=s₁=$\sqrt{2}$-1，
a₂=s₂-s₁=（$\sqrt{3}$-1）-（$\sqrt{2}$-1）=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
a₃=s₃-s₂=（$\sqrt{4}$-1）-（$\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$，
a₄=s₄-s₃=（$\sqrt{5}$-1）-（$\sqrt{4}$-1）=$\sqrt{5}$-$\sqrt{4}$，
分析可得：a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
故答案为：a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

点评 本题考查数列的表示方法，关键是准确计算求出数列的前4项，进而分析发现规律．