Question

7．设S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，S_n=2S_n-1+n-2（n≥2），则a₂₀₁₇等于（　　）

• A． 2²⁰¹⁶-1
• B． 2²⁰¹⁶+1
• C． 2²⁰¹⁷-1
• D． 2²⁰¹⁷+1

Answer 1

分析 推导出a_n=S_n-S_n-1=S_n-1+n-2，n≥2，从而a_n+1=S_n+n-1，进而a_n+1+1=2（a_n+1），由此得到{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出结果．

解答 解：∵S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=1，S_n=2S_n-1+n-2（n≥2），
∴a_n=S_n-S_n-1=S_n-1+n-2，n≥2，①
∴a_n+1=S_n+n-1，②
②-①，得：a_n+1-a_n=a_n+1，
∴a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=2$，又a₁+1=2，
∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，∴${a}_{n}={2}^{n}-1$，
∴${a}_{2017}={2}^{2017}-1$．
故选：C．

点评 本题考查数列的第2017项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式、等比数列的性质的合理运用．