Question

18．设函数f（x）满足2x²f（x）+x³f'（x）=e^x，f（2）=$\frac{e^2}{8}$，则x∈[2，+∞）时，f（x）的最小值为（　　）

• A． $\frac{e^2}{2}$
• B． $\frac{{3{e^2}}}{2}$
• C． $\frac{e^2}{4}$
• D． $\frac{e^2}{8}$

Answer 1

分析 由题意可知：f'（x）=$\frac{{e}^{x}-2{x}^{2}f（x）}{{x}^{3}}$，且当x=2时，f（2）=$\frac{e^2}{8}$，构造辅助函数，求导，由g′（x）≥0在x∈[2，+∞）恒成立，则g（x）在x=2处取最小值，即可求得f（x）在[2，+∞）单调递增，即可求得f（x）的最小值．

解答 解：由2x²f（x）+x³f'（x）=e^x，
当x＞0时，
故此等式可化为：f'（x）=$\frac{{e}^{x}-2{x}^{2}f（x）}{{x}^{3}}$，且当x=2时，f（2）=$\frac{e^2}{8}$，
f'（x）=$\frac{{e}^{2}-8×f（2）}{{x}^{3}}$=0，
令g（x）=e²-2x²f（x），g（2）=0，
求导g′（x）=e²-2[x²f′（x）+2xf（x）]=e²-$\frac{2{e}^{x}}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$（x-2），
当x∈[2，+∞）时，g′（x）＞0，
则g（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，
g（z）的最小值为g（2）=0，
则f'（x）≥0恒成立，
∴f（x）的最小值f（2）=$\frac{e^2}{8}$，
故选D．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，考查构造法求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．