Question

9．已知f（α）=$\frac{sin（2π-α）cos（π+α）cos（\frac{π}{2}-α）cos（\frac{11π}{2}-α）}{sin（3π-α）cos（\frac{π}{2}+α）sin（\frac{9π}{2}+α）}$+cos（2π-α）．
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，求$\frac{1}{sinα}$+$\frac{1}{cosα}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式即可化简求值得解．
（2）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sinαcosα的值，即可化简所求计算得解．

解答 解：（1）f（α）=$\frac{（-sinα）（-cosα）sinα（-sinα）}{sinα（-cosα）sinα}$+cosα=sinα+cosα．------------------（6分）
（2）∵f（α）=sinα+cosα=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴1+2sinαcosα=$\frac{2}{5}$，
∴sinαcosα=-$\frac{3}{10}$，----------------（10分）
∴$\frac{1}{sinα}$+$\frac{1}{cosα}$=$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$=-$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．-------------------（12分）

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．