Question

19．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：${ρ^2}=\frac{12}{{2+{{cos}^2}θ}}$，直线l：$2ρcos（θ-\frac{π}{6}）=\sqrt{3}$．
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}$x+y=$\sqrt{3}$，与y轴相交于（0，$\sqrt{3}$），即可得出：直线l的参数方程．
（2）把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：3t²+8t-8=0，可得|AB|=|t₁-t₂|．

解答 解：（1）直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}$x+y=$\sqrt{3}$，与y轴相交于（0，$\sqrt{3}$），
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．          …（4分）
（2）曲线C的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1，把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：3t²+8t-8=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{8}{3}$，t₁t₂=-$\frac{8}{3}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{\frac{64}{9}-4×（-\frac{8}{3}）}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．                         …（10分）

点评 本题考查了直线与椭圆相交弦长问题、极坐标的应用、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．