Question

椭圆

x2

a2

+

y2

2

=1与双曲线

x2

3

-y2=1有公共的焦点F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则cos∠F₁PF₂=（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  4

• C、

  2

  3

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由双曲线

x2

3

-y2=1得焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），解得a²=6，由椭圆与双曲线的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2

6

，|PF₁|-|PF₂|=±2

3

，由此得到2（|PF₁|²+|PF₂|²）=36，4|PF₁|•|PF₂|=12，再由余弦定理，能求出cos∠F₁PF₂．

解答： 解：由双曲线

x2

3

-y2=1得焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴a²-2=4，解得a²=6，
由椭圆与双曲线的定义，得：|PF₁|+|PF₂|=2

6

，|PF₁|-|PF₂|=±2

3

，
两式分别平方后，相加得 2（|PF₁|²+|PF₂|²）=36，
两式分别平方后相减，得 4|PF₁|•|PF₂|=12，
因此，由余弦定理，得
cos∠F₁PF₂=（|PF₁|²+|PF₂|²-|F₁F₂|²）÷（2|PF₁|•|PF₂|）
=（18-16）÷6=

1

3

．
故选：A．

点评：本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意审题，注意椭圆、双曲线的简单性质的灵活运用，注意余弦定理的合理运用．