Question

求y=（sinx+

2

）（cosx+

2

），x∈[0，

π

2

]的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：利用三角恒等变换可得y=sinxcosx+

2

(sinx+cosx)+2，令t=sinx+cosx，易求t∈[1，

2

]，sinxcosx=

t2-1

2

，于是有y=

1

2

t2+

2

t+

3

2

，利用二次函数的性质可求得x∈[0，

π

2

]的最大值．

解答： 解：y=sinxcosx+

2

(sinx+cosx)+2（2分）
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)（4分）
∵0≤x≤

π

2

，∴

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

，∴sin(x+

π

4

)∈[

2

2

，1]，
∴t∈[1，

2

]（6分）
t²=1+2sinxcosx，∴sinxcosx=

t2-1

2

，
∴y=

1

2

t2+

2

t+

3

2

，
对称轴：t=

2

-2× 1 2

=-

2

∉[1，

2

]（8分）
∴ymax=y(

2

)=1+2+

3

2

=

9

2

（10分）

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查三角恒等变换，突出考查换元法的应用及二次函数的性质，属于中档题．