Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在x=1处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最大值时，写出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=g（x）为偶函数，且当x≥0时，g（x）=f（x）e^-x，求当x＜0时g（x）的表达式，并求函数g（x）在R上的最小值及相应的x值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义，即可用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最大值时，建立a，b，c的关系，即可写出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）根据函数的奇偶性的性质求出函数的表达式，即可求出函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在x=1处的切线垂直于y轴．
∴f（0）=2a+3=c，即c=2a+3，
∵f'（1）=0，
∴b=-2a．
用a分别表示b和c；
（Ⅱ）bc=-2a（2a+3）=-（2a+

3

2

）²+

9

4

，
∴当a=-

3

4

时，bc取得最大值时，
此时b=

3

2

，c=

3

2

，
即y=f（x）=-

3

4

x2+

3

2

x+

3

2

；
（Ⅲ）当x≥0时，g（x）=f（x）e^-x，
当x＜0，则-x＞0时，
即g（-x）=f（-x）e^x=(-

3

4

x2-

3

2

x+

3

2

)e^x，
∵函数y=g（x）为偶函数，
∴g（-x）=f（-x）e^x=(-

3

4

x2-

3

2

x+

3

2

)e^x=g（x），
即g（x）=(-

3

4

x2-

3

2

x+

3

2

)e^x，x＜0．
此时，g'（x）=(-

3

4

x2-3x)ex，
由g'（x）＜0得，x＜-4，此时函数单调递减，
由g'（x）＞0得，-4＜x＜0，此时函数单调递增，
∴当x=-4时，函数取得最小值g（-4）=-

9

2

e-4，
∵函数y=g（x）为偶函数，
∴当x=4时，函数也取得最小值g（4）=-

9

2

e-4，
综上当x=±4时，函数的最小值为-

9

2

e-4．

点评：本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握导数在研究函数中的应用，考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．